Existen muchas definiciones de matemática. Algunas personas dicen que es una ciencia, otras que es una herramienta. Habrá quien diga que la matemática es un lenguaje, en el que se puede hablar sobre cosas técnicas de forma muy precisa... lo que no la hace muy diferente del alemán. Si algo importa en matemática es tener las definiciones claras, pero en este caso probablemente es imposible encontrar una que sea totalmente satisfactoria.
La matemática: Como el alemán, pero sin chistes
Afortunadamente no todo está tan en el aire: sabemos que la matemática trabaja sobre objetos matemáticos. Probablemente el primero que viene a la mente son los números. Sin embargo, a pesar de que los números son el objeto matemático más conocido en la vida cotidiana, la matemática trabaja también con muchos otros objetos: triángulos, funciones, ecuaciones, probabilidades, etc. Tratar de describirla de esta forma, como una lista de objetos de estudio, siempre se queda corto.
¿Y qué hacemos entonces? Por las razones anteriores, en este artículo nos concentraremos en el método del quehacer matemático. ¿Cómo generamos conocimiento en matemática? ¿Se hace de manera diferente a otras disciplinas científicas (incluyendo las «ciencias exactas»)? De paso, trataremos de dar algunas luces sobre cuál es el objetivo de esta disciplina.
El método matemático versus el método científico
Lo que queremos, entonces, es hablar del método matemático para generar conocimiento y la diferencia con el método científico. Para delimitar la discusión, compararemos a las ciencias exactas con la matemática, pero esto no significa que estemos afirmando que la matemática no es una ciencia. Su cualidad de ciencia (o no) es una pregunta profunda e interesante, pero fuera del enfoque de este artículo.
Comenzaremos discutiendo un poco sobre el método científico. Este método plantea una forma de conocer la realidad de forma verificable, porque se hace a través experimentos reproducibles, y dinámica, porque las teorías constantemente se adaptan a la evidencia más nueva.
El método científico puede entenderse como una pauta (bastante amplia) que guía al quehacer científico. Su objetivo es la elaboración y puesta a prueba de una hipótesis científica, que es una posible explicación de algún fenómeno. Muy resumidamente, este método requiere la formulación de tal hipótesis, el diseño de experimentos que la contrasten la realidad, y la realización y análisis de estos experimentos para confirmar o refutar la hipótesis inicial. Luego de esto, es probable que sea necesario adaptar la hipótesis para que se asemeje más a las observaciones reales, antes de repetir el proceso para ponerla nuevamente a prueba.
Una característica epistemológica fundamental de las hipótesis construidas con este método es que, incluso si toda la evidencia actual sugiere su veracidad, siempre es posible que surja nueva evidencia que las refute. Esto ha pasado una y otra vez a lo largo de la historia de la ciencia. Por ejemplo, las leyes de Newton—que son los fundamentos de la mecánica clásica—se consideraron como una descripción completa de la realidad, hasta que nuevas observaciones provenientes del mundo subatómico obligaron a cuestionarlas y corregirlas, dando origen a la mecánica cuántica.
El método matemático—es decir, la pauta que guía al quehacer matemático—es mucho menos conocido. Intentaremos explicar en qué consiste este método a continuación.
¿Qué es lo cierto en matemática?
Hay mucho paño que cortar respecto a esta pregunta y es imposible hacerle justicia a todos los posibles puntos en un documento de esta longitud. Pero, al menos bajo cierto punto de vista, se puede decir que a diferencia del método científico, en matemática no existe «una realidad» contra la cual experimentar y contrastar hipótesis. O al menos no de la misma manera que se hace en las otras ciencias. Por ejemplo, sabemos que un enunciado como «1+1=2» es cierto, pero no nos hemos convencido de su veracidad porque sumamos uno más uno muchísimas veces y siempre nos dio el mismo resultado. La forma en que aceptamos enunciados como ciertos en matemática es diferente.
Nadie: ¿1+1=2?
Bertrand Russell: "Hold my smoke-emitting elongated torus"
¿Y cómo es, entonces? La forma establecida de generar conocimiento nuevo en matemática es mediante argumentos deductivos. En lugar de partir con una hipótesis que se trata de comprobar mediante experimentos, un argumento matemático válido parte de ciertos axiomas, que son afirmaciones básicas cuya validez suponemos de antemano y que pueden pensarse como los cimientos de una teoría matemática. A partir de estas afirmaciones, y usando lógica, se crean nuevas afirmaciones cuya validez aceptamos. A esta clase de argumentos se les llama demostración.
Como un ejemplo de razonamiento matemático en acción, podemos demostrar un enunciado sencillo:
Para todo número real , su cuadrado no es negativo.
Posiblemente usted recuerde algunos «axiomas» sobre números reales que son relevantes ahora. En este caso, necesitamos invocar dos:
1.
(«Tricotomía») Todo número real o es negativo, o bien es positivo, o bien es cero. No hay más opciones.
2.
(«Ley de signos») Un número positivo multiplicado por un número positivo da un número positivo. Un número negativo multiplicado por un número negativo da un número positivo.
Una posible demostración funciona así. Tomamos un número cualquiera. Por la tricotomía, solo tenemos tres opciones posibles: este número es negativo, o es positivo, o es cero. El cuadrado es equivalente a multiplicar por sí mismo. Con esta información, podemos ver cada uno de estos casos por separado.
Si el número es positivo: estamos multiplicando un número positivo por un número positivo. La ley de signos nos dice que el resultado de tal operación debe ser positivo. Entonces es positivo, por lo tanto, no es negativo.
Si el número es negativo, estamos multiplicando un número negativo por un número negativo. La ley de signos nos dice que el resultado de tal operación debe ser positivo. Entonces es positivo, por lo tanto, no es negativo.
Si el número es cero, sabemos que cero por cero es cero. Luego no es un número negativo.
No hay más casos, y en todos los casos que teníamos llegamos a la conclusión deseada. Por lo tanto, demostramos que el enunciado es cierto.
Más generalmente, diremos que una verdad matemática (comúnmente llamada teorema) es un enunciado que ha sido demostrado de esta forma. Por lo tanto, la principal diferencia epistemológica entre el quehacer científico y el quehacer matemático es que, muy por el contrario de las teorías científicas, los teoremas no se pueden contradecir a través del surgimiento de nuevas observaciones de la realidad. Un teorema solo se puede refutar si es posible exhibir un error lógico en algún argumento de la demostración.
¿Significa entonces esto que los teoremas son inequívocamente ciertos? No, pues los razonamientos que llevan a demostrar un teorema son últimamente desarrollados y revisados por seres humanos (a pesar de los recientes intentos de automatizar estos procesos). Los seres humanos somos evidentemente susceptibles a fallos y equivocaciones. Sin embargo, las demostraciones y refutaciones en matemática son endógenas, en el sentido de que provienen de la matemática misma, a diferencia de las demostraciones y refutaciones exógenas, que provienen de experimentos y observaciones, en las ciencias exactas.
Similarmente, el objetivo de la matemática no es comprender la realidad como lo es el de las ciencias exactas, sino comprenderse a sí misma. Las preguntas y respuestas de la matemática surgen de la propia matemática, aunque pueden estar inspiradas en preguntas que provienen de otras disciplinas.
Los gráficos hechos por periodistas son uno de los puntos de estudio permanente que aún no logran una respuesta matemática satisfactoria. ¡A seguir estudiando, cerebritos!
Ya, ¿y de qué sirve?
Esta pregunta es más compleja de lo que podría parecer al principio y tiene muchísimos matices. Quizá la respuesta más generalizada es que la matemática se considera útil porque se aplica en la vida real y de manera cotidiana. Somos testigos de esto día a día, desde contar un vuelto a entender las cifras de una pandemia. Además, un aspecto donde la matemática parece ser fundamentalmente útil es su uso como herramienta en las otras ciencias. De forma muy simplificada podemos decir que, si bien la matemática no corresponde exactamente a la descripción de una realidad tangible, podemos usarla para modelar la realidad suponiendo que la naturaleza sigue las reglas de la matemática. De esta forma, podemos usar las predicciones hechas por estos modelos para intentar aproximarnos, entender, y tratar de predecir hechos de la vida real.
Por este último punto es importante que el conocimiento matemático esté basado en deducciones lógicas. Puede pasar que una explicación científica a un fenómeno tenga que ser revisada porque no era lo suficientemente adecuada (recordemos el ejemplo de las leyes de Newton), pero tenemos la certeza casi total de que fuente del error en la descripción no es que las matemáticas fallaron. Lo que puede suceder (y sucede) es que la descripción de la realidad que hicimos usándolas no era la más correcta. Entonces, podemos decir que el método matemático tiene una utilidad concreta a la hora de usar la matemática como herramienta: nos permite acorralar la fuente de los errores de nuestros modelos.
Otro ejemplo que ilustra el mismo punto puede ser usar matemática para llevar la contabilidad de un almacén. Puede pasar (y lamentablemente pasa) que el conteo de dinero no calce con lo que creemos haber gastado y recibido. Pero si esto sucede, concluimos que o bien nos equivocamos al hacer los cálculos, o bien hemos detectado una incongruencia real. Pero sabemos que no puede pasar que—digamos—por condiciones ambientales los números estén sumándose de forma distinta e inesperada cada vez. Esto nos otorga una de las pocas certezas que, dada toda la complejidad y hostilidad que el mundo real nos otorga día a día, valoramos profundamente.
Sin embargo, no es posible valorar una disciplina solamente mediante sus aplicaciones. Por ejemplo, la utilidad de una disciplina se puede juzgar según su aplicabilidad real en la vida cotidiana, pero también según su aplicabilidad potencial en un futuro indeterminado. Incluso es posible decir que el valor de una disciplina se puede medir según la satisfacción que surge de ella en las personas que la estudian o aprecian (como frecuentemente se hace con el arte, o el fútbol circular).
Volvamos a los ejemplos. Probablemente la matemática más antigua que existe es el estudio de los números naturales. A pesar de que las reglas de operatoria básica se conocen desde hace milenios, los matemáticos y matemáticas han intentado determinar patrones y propiedades muchísimo más complejos en los números naturales. De esta forma, se ha desarrollado lo que actualmente se conoce como la teoría de números. Por siglos se pensó que este estudio no tenía aplicaciones en la vida cotidiana, e incluso teoristas de números prominentes han afirmado que la teoría de números es el área más «noble» de la matemática por su aparente lejanía con las aplicaciones. Sin embargo, en las últimas décadas y con el advenimiento de Internet, se ha descubierto que la teoría de números es útil para la codificación y decodificación de mensajes [a]. De esta forma, se ha transformado la base fundamental de la criptografía, que permite, por ejemplo, que las transacciones en línea sean seguras.
El ejemplo anterior ilustra que no somos capaces de determinar cuál es la aplicabilidad potencial de un campo de investigación en matemática, por lo que hay quienes argumentan que la matemática debe desarrollarse sin preocuparse por la posible utilidad. Estas personas dicen, entonces, que si en algún momento se requiere de cierta matemática para enfrentar un problema real, es probable que ya exista si es que en el pasado se permitió que la investigación en matemática siga su curso natural.
Finalmente, es posible hacer un paralelo entre la matemática y el arte. La matemática es una construcción humana, social e intelectual que tiene sus propios cánones de calidad, elegancia y belleza. Así, un argumento simple, pero potente, que responde una pregunta que se pensaba complicada es considerado una obra de arte para quien se dedica al estudio de esta disciplina. Respecto a esto, el poeta portugués Fernando Pessoa escribió «El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo. El problema es que muy poca gente se da cuenta de ello» [b]. Estos motivos estéticos muestran que es también posible apreciar la matemática por sus propios méritos, independiente de su utilidad práctica en la vida cotidiana.
Todos estos aspectos son parte de lo que apreciamos en la matemática: las certezas que nos da su método lógico, la invaluable herramienta que es a la hora de aplicarla, el potencial futuro de uso que tiene la matemática que ahora consideramos poco práctica, la belleza que podemos encontrar en una demostración elegante. Es esta amalgama de características que hacen que la matemática «sirva» de forma híbrida como herramienta y objeto de belleza a la vez: el óleo, el pincel y el cuadro en uno solo.
Agradecimientos
Referencias
a. Guterl, F. (1994). Suddenly, Number Theory Makes Sense to Industry. Math Horizons, 2(2), 6–8. Disponible aquí.
b. Pessoa, F. (1944, imp. 1993). Poesias de Álvaro de Campos (pp. 110). Lisboa: Ática. Disponible aquí.
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